Doppler-Effekt [Physikunterricht]

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====== Doppler-Effekt ======

===== Lernziele =====

  * Sie wissen, was Physiker unter dem Doppler-Effekt verstehen und erkennen ihn im Alltag
  * Die wahrgenommene Frequenz können Sie korrekt aus den Geschwindigkeiten und der ausgesendeten Frequenz berechen
  * Sie kennen die Schallmauer und den Machkegel und wissen, weshalb diese beobachtet werden

===== Beobachtung =====

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{{ :schwingungen-wellen:christian-doppler.jpg?200}}
Sie haben sicher schon die Sirene einer Blaulichtorganisation gehört, wenn diese auf Sie zufährt. Sie hören eine höhere Frequenz (=ein höherer Ton). Entfernt sich das Fahrzeug von Ihnen, hören Sie die Sirene mit einem tieferen Ton (=kleinere Frequenz) heulen. Diese Frequenzverschiebung, die sich aus der Bewegung von Schallquelle und/oder Beobachter ergibt, ist die Folge des sogenannten Doppler-Effekts. Der Effekt wurde nach dem Mathematiker Christian Doppler genannt, der ihn 1842 untersucht hat.
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===== Analogie zur Veranschaulichung =====

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{{:schwingungen-wellen:meereswellen.jpg?200 }}
Sie waren sicher schon am Meer, oder? Dann standen Sie sicher schon wie dieses Kleinkind im Wasser und haben die Wellen beobachtet, die an Ihre Beine schlagen. Wir nehmen vereinfachend an, dass jede Sekunde eine Welle auf Sie zukommt. Die Frequenz, mit der die Wellen an Sie herankommen ist also 1 Hz (=in der Zeitspanne von einer Sekunde trifft Sie eine neue Welle).
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=== Frage ===
Wie ändert sich die Frequenz (=Anzahl Wellen, die in einer Sekunde auf Ihre Beine zukommen), wenn Sie vom Strand weg weiter ins Meer hinaus gehen, sich also auf die Wellen zu bewegen? Nimmt sie ab (=es treten weniger Wellen an Sie heran), bleibt sie gleich oder nimmt sie sogar zu (=in einer Sekunde kommen mehr Wellen auf Sie zu)?
++++ Antwort |
Sie gehen den Wellen entgegen.  Somit treffen Sie in einer Sekunde mehr Wellen an, als wenn Sie stehen würden. Die Frequenz, mit der die Wellen auf Sie eintreffen, nimmt also zu.
++++
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Eine ähnliche Überlegung könnten Sie anstellen, wenn Sie sich wieder zurück Richtung Strand bewegen. Weil Sie sich mit den Wellen bewegen, erreichen Sie in einer Sekunde weniger Wellenberge und die Frequenz nimmt ab.

===== Herleitung der beobachteten Frequenz =====

Um die beobachtete Frequenz berechnen zu können, betrachten wir 3 Fälle:

==== 1. Fall: Die Schallquelle ruht, der Beobachter ruht ====

In diesem Fall sind die Geschwindigkeiten von Schallquelle und Beobachter Null. Wir erwarten also, dass der Beobachter die gleiche Frequenz $f_B$ wahrnimmt, wie die Quelle (Frequenz $f_S$) aussendet.

Schall breitet sich nach allen Richtungen hin gleichmässig aus. Die Wellenfront (die erste Verdichtung der Druckwelle) entspricht einer Kugeloberfläche und breitet sich mit Schallgeschwindigkeit $c$ aus. Ihr folgen im Abstand einer Wellenlänge die weiteren Verdichtungen (=Wellenberge). Zweidimensional gezeichnet, sähen die Wellenberge dieser ruhenden Schallquelle in etwa so aus:

{{:schwingungen-wellen:dopller1.png?300 }}
Wir wollen für die Herleitung jeweils immer die Wellenlänge $λ$ für die Schallquelle und den Beobachter in Abhängigkeit der Frequenz und der Geschwindigkeit angeben. (Siehe [[schwingungen-wellen:welle-beschreibung|Beschreibung einer Welle]])

Für die Schallquelle gilt:

$$\lambda=\frac{c}{f_S}$$

Für den Beobachter gilt:

$$\lambda=\frac{c}{f_B}$$

Da bei beiden die Wellenlänge gleich ist, folgt:

$$\frac{c}{f_S}=\frac{c}{f_B}\;\Rightarrow\;f_B=f_S$$

Damit wäre gezeigt, dass ein ruhender Beobachter die gleiche Frequenz wahrnimmt, die eine ruhende Quelle aussendet.


==== 2. Fall: Die Schallquelle ruht, der Beobachter bewegt sich a) auf die Quelle zu b) von ihr weg ====

Die Quelle bleibt weiterhin in Ruhe. Doch nun bewegt sich der Beobachter. Wir nehmen den vereinfachten Fall an, dass er sich exakt auf die Quelle zubewegt oder von ihr wegbewegt. Zuerst schauen wir uns Fall a) an, wo sich der Beobachter der Schallquelle nähert:

{{ :schwingungen-wellen:doppler2.png?300}}

a) Für die Schallquelle gilt das Gleiche wie beim 1. Fall:

$$\lambda=\frac{c}{f_S}$$

Für den Beobachter gilt (die Geschwindigkeit, mit der Wellenberge auf den Beobachter zukommen, erhöht sich um die Geschwindigkeit des Beobachters):

$$\lambda=\frac{c+v_B}{f_B}$$

Erneutes Gleichsetzen der Wellenlänge:

$$\frac{c}{f_S}=\frac{c+v_B}{f_B}\;\Rightarrow\;f_B=f_S\cdot\frac{c+v_B}{c}$$

b) Wenn sich der Beobachter von der Quelle wegbewegt, erreichen ihn die Wellenberge weniger schnell. Es gilt somit analog mit dem anderen Vorzeichen:

$$f_B=f_S\cdot\frac{c-v_B}{c}$$

==== 3. Fall: Die Schallquelle bewegt sich a) auf den ruhenden Beobachter zu b) von ihm weg ====

Nun widmen wir uns dem letzten Spezialfall. Der Beobachter bleibt diesmal wie im 1. Fall in Ruhe. Dafür bewegt sich die Quelle bei a) direkt auf den Beobachter zu:

{{:schwingungen-wellen:doppler3.png?300 }}

a) Da die Schallquelle die eigenen Wellenberge einholt, bewegen sich die Wellenfront nicht mehr so rasch von der Quelle weg. Für die Wellenlänge gilt:

$$\lambda=\frac{c-v_S}{f_S}$$

Für den Beobachter gilt wie beim 1. Fall:

$$\lambda=\frac{c}{f_B}$$

Gleichgesetzt:

$$f_B=f_S\cdot\frac{c}{c-v_S}$$

b) Analog gilt hier, dass sich die Wellenberge rascher entfernen und somit:

$$f_B=f_S\cdot\frac{c}{c+v_S}$$

===== Zusammenfassung =====

Was passiert, wenn sich sowohl die Schallquelle als auch der Beobachter bewegen? Müssen dort noch weitere Formeln hergeleitet werden? Glücklicherweise nein! Wir können nämlich die bisherigen Ergebnisse in eine einzige Formel zusammenfassen und auch die oben genannten Fälle abdecken:

$$f_B=f_S\cdot\frac{c\pm v_B}{c\mp v_S}$$

Dabei muss bei den kombinierten +/- das obere Vorzeichen gewählt werden, wenn der Geschwindigkeitsvektor auf den Anderen zeigt, also beispielsweise die Geschwindigkeit des Beobachters auf die Schallquelle zeigt.

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=== Aufgabe ===
Überzeugen Sie sich, dass der 2. Fall b) in der zusammengefassten Formel enthalten ist, wenn für die Geschwindigkeit der Schallquelle Null eingesetzt und das korrekte Vorzeichen gewählt wird.
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===== Schallmauer und Machkegel =====

Bewegt sich die Quelle mit Schallgeschwindigkeit, entsteht vorne eine gewaltige Druckwelle, da sich die einzelnen Wellenberge alle überlagern. Diese Erscheinung wird **Schallmauer** genannt.

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{{ :schwingungen-wellen:schallmauer.png?350 }}
Schallmauer
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{{ :schwingungen-wellen:machkegel.png?350 }}
Machkegel
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Mit der Machzahl bezeichnet man das Verhältnis der Geschwindigkeit eines Fahr- oder Flugzeugs zur Schallgeschwindigkeit. Ein Flugzeug, das mit exakt der Schallgeschwindigkeit fliegt und eine Schallmauer erzeugt, hat die Machzahl 1. Wenn ein Flugzeug schneller als der Schall fliegt (Machzahl > 1) holt es seine eigenen Schallwellen ein. Es entsteht ein sog. **Machkegel**.

Wenn Sie einen Knall hören, wenn ein Flugzeug über Sie fliegt, dann ist es mit höchster Wahrscheinlichkeit nicht die Schallmauer, die sie hören, sondern vielmehr die Auswirkung des Machkegels. Denn auch dort findet eine Verdichtung der Druckwelle statt und ein Flugzeug versucht möglichst rasch die Machzahl 1 zu verlassen, da es bei dieser Geschwindigkeit keinen dynamischen Auftrieb mehr erfährt.

==== Simulation ====

In den folgenden Desmos-Simulation können Sie die ganze Sache nochmals sehen:

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<WRAP first column centeralign>
{{url>https://www.desmos.com/calculator/voke6eedtv?embed 230,230 noborder}}

Machzahl: 0.5
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<WRAP second column centeralign>
{{url>https://www.desmos.com/calculator/tgsxpi5oqm?embed 230,230 noborder}}

Machzahl: 1.0
</WRAP>

<WRAP third column centeralign>
{{url>https://www.desmos.com/calculator/mgaocv5ftj?embed 230,230 noborder}}

Machzahl: 1.5
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=== Aufgabe ===
Lösen Sie die Aufgabe 70 aus dem Physikaufgabenbuch.
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